แฟร์มาต์เป็นชาวฝรั่งเศส เป็นนักคณิตศาสตร์ในยุคของการพัฒนาศิลปวิทยา เขาเกิดในวันที่ 17 เดือนสิงหาคม ค.ศ. 1601 แฟร์มาต์เป็นบุตรชายพ่อค้าขายเครื่องหนังผู้มั่งคั่งคนหนึ่งของฝรั่งเศส แฟร์มาต์มีผลงานที่สำคัญในเรื่องทฤษฎีความน่าจะเป็น ผลงานคิดค้นทางคณิตศาสตร์ของแฟร์มาต์ที่น่าสนใจและเป็นรากฐานในวิชาแคลคูลัสต่อมา คือ Method for determining Maxima and Minima and Tangents of Curved Lines ผลงานคิดค้นส่วนนี้ทำให้สามารถคำนวณหาจุดสูงสุดต่ำสุด และเส้นสัมผัสของรูปกราฟ ความสัมพันธ์แบบต่าง ๆ และเข้าไปสู่เรื่องเรขาคณิตแบบใหม่ แฟร์มาต์ยังคงเขียนหนังสือเกี่ยวกับเรขาคณิตแบบใหม่นี้ โดยเน้นการวิเคราะห์พื้นผิว และรูปทรงต่าง ๆ โดยให้ชื่อหนังสือว่า Introduction to Plane and Solid Loci
งานที่มีชื่อเสียงและเป็นที่กล่าวถึงของนักคณิตศาสตร์และชนรุ่นหลังอย่างมาก คือ แฟร์มาต์ได้เสนอทฤษฎีที่เรียกว่า ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์
แฟร์มาต์ยังได้ทำการศึกษาและให้ข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับเลขจำนวนเฉพาะ และต่อมาได้เรียกกันว่า ตัวเลขของแฟร์มาต์ (Fermat Number)

ความคิดทางคณิตศาสตร์ยุคสมัยอิยิปต์และโรมัน
ความคิดทางคณิตศาสตร์ของคนในยุคต่อจากบาบิโลน มาเป็นอารยธรรมที่ลุ่มแม่น้ำไนล์ในประเทศอิยิปต์ สิ่งมหัศจรรย์ของโลกที่ยังหลงเหลืออยู่คือปิรามิด ที่แสดงความสามารถของคนในยุคนั้น ชาวอียิปต์รู้จักกับการจารึกและเขียนลงบนแผ่นที่ทำจากต้นกก (papyrus) มีการใช้อักษรรูปภาพแสดงเรื่องราวต่าง ๆ
ความเกี่ยวโยงทางความคิดก็ยังคงเกี่ยวกับธรรมชาติและวิถีความเป็นอยู่ หน่วยนับของชาวอียิปต์ยังคงใช้เลขจำนวนเต็ม และใช้เศษส่วน ดังนั้นตัวเลขทศนิยมยังไม่มีใช้ จากหลักฐานที่พบบนแผ่นพาไพรัสที่บ่งบอกว่า กษัตริย์ทรงพระนามว่า Ahmes ได้จารึก เรื่องราวเกี่ยวกับการคูณไว้ตั้งแต่เมื่อ 1650 ปีก่อนคริสต์ศักราช แผ่นจารึกดังกล่าว เป็นตารางการคูณเลข 41 และ 59

	41 x 59
ตัวเลขเริ่มต้น --> 1+1 --> 2+2 --> 4+4 --> 8+8 --> 16+16 --> 32+32 -->	1 59 2 118 4 236 8 472 16 944 32 1888 64 3776	<-- ตัวเลขที่ต้องการคูณ <-- 59+59 <-- 118+118 <-- 236+236 <-- 472+472 <-- 944+944 <-- 1888+1888

โดยที่ตัวเลข 41 มีค่าอยู่ระหว่าง 32 กับ 64 ดังนั้นจึงใช้วิธีการลบอย่างง่าย ๆ โดยนำค่าทางซ้ายมือของตารางที่มีค่าเท่ากัน หรือน้อยกว่ามาลบ แล้วนำผลลัพธ์ที่ได้มาทำการลบต่อไป ดังนี้

41 - 32	= 9
9 - 8	= 1
1 - 1	= 0

ดังนั้นการคูณ 59 ด้วย 41 จึงใช้หลักการ
41 = 32 + 8 +1
โดยวิธีการบวกตัวเลขของตาราง ดังนี้

1	59
2	118
4	236
8	472
16	944
32	1888
64	3776

ผลลัพธ์

59+472+1888 = 2419

ระบบการนับจำนวน เปลี่ยนแปลงมาใช้ฐานสิบ เพราะเหตุผลความคุ้นเคยกับการใช้นิ้วมือในการสื่อสาร เมื่อนิ้วมือมีสิบนิ้ว ระบบตัวเลขเบื้องต้นจึงใช้ตัวเลขสิบตัว และใช้ในระบบตัวเลขฐานสิบในยุคต่อมา
หากโลกของอีทีในภาพยนตร์มีนิ้วมือรวมกัน 8 นิ้ว โลกของอีทีก็น่าจะใช้ตัวเลขฐาน 8 ในการสื่อสารแสดงค่าจำนวนกัน
ระบบการนับจำนวนจึงไม่จำเป็นต้องยึดติดกับฐานตัวเลขฐานใดฐานหนึ่ง เช่น เมื่อถึงยุคอิเล็กทรอนิกส์ ยุคที่คอมพิวเตอร์เข้ามามีบทบาทมากขึ้น การใช้งานในยุคอิเล็กทรอนิกส์เป็นเครื่องคำนวณ ใช้หลักการแทนตัวเลข ด้วยระดับสัญญาณไฟฟ้าสองระดับ ซึ่งแทนตัวเลข 0 และ 1 การคำนวณในระบบคอมพิวเตอร์จึงใช้หลักการของตัวเลขฐานสอง ระบบตัวเลขฐานสองจึงมีคุณค่าในยุคสมัยที่เครื่องคอมพิวเตอร์เข้ามามีบทบาทที่สำคัญ

ตัวเลขฐานสิบ	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
ตัวเลขฐานสอง	0	1	10	11	100	101	110	111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111

ดังนั้นระบบจำนวนจึงเป็นเรื่องของธรรมชาติที่มนุษย์ต้องการใช้ในการนับจำนวน เพื่อจะได้ทราบปริมาณ และเปรียบเทียบค่า หรือใช้ประโยชน์ในชีวิตประจำวันได้มากมายมหาศาล ลองนึกดูว่าชีวิตเราขึ้นอยู่กับจำนวนอะไรบ้าง ตั้งแต่เกิดจนวาระสุดท้าย ชีวิตความเป็นอยู่เกี่ยวข้องกับตัวเลขทั้งสิ้น เราใช้ทรัพยากรทุกอย่างในการดำรงชีวิตเกี่ยวข้องกับจำนวนทั้งสิ้น
การใช้สัญลักษณ์แทนจำนวน มีพัฒนาการที่ต่อเนื่อง เช่น ชาวอิยิปต์โบราณ ใช้ขีดแทนตัวเลข ดังนี้

เลขในปัจจุบัน	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	100
ตัวเลขอียิปต์	|	||	|||	||||	||| ||	||| |||	|||| |||	|||| ||||	||| ||| |||

สำหรับชาวโรมัน มีวิธีการเขียนตัวเลขแทนจำนวนที่ต่างกัน ดังนี้

เลขในปัจจุบัน	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	50	100	500
ตัวเลขโรมัน	I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII	IX	X	L	C	D

สำหรับชาวจีนมีการใช้อักขระจีนแทนตัวเลขจำนวนมานานแล้ว และยังคงใช้จนถึงปัจจุบัน ตัวอย่างเช่น

เลขในปัจจุบัน	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	100	1000
ตัวเลขจีน

ถ้ายี่สิบก็เขียนเป็น
ที่น่าสังเกตคือในสังคมความเป็นอยู่ของแต่ละชาติจะคุ้นเคยกับตัวเลขต่างกัน เช่น ในหลักการของทางตะวันตก ใช้ตัวเลข เป็นจำนวนเท่าของพัน เช่น 10000 ก็เรียก สิบพัน 100000 ก็เรียก หนึ่งร้อยพัน และถ้าเป็นล้านก็จะมีการแทน แต่ในสังคมจีน ญี่ปุ่น ใช้การนับตัวเลขถึงหลักหมื่น ถ้าจะแทนแสนก็จะเรียกว่าสิบหมื่น เป็นต้น
ขอบเขตของตัวเลข หรือการนับจำนวนในสมัยอียิปต์ และโรมันยังไม่มีเลขศูนย์ และยังไม่ใช้ค่าทศนิยม แต่จะใช้เศษส่วนเป็นหลัก ดังนั้นชาวอียิปต์โบราณจะเปรียบเทียบขนาดจำนวนของเศษส่วนได้คล่องกว่า ลองนึกดูว่า ถ้าเราได้เลขเศษส่วนหลาย ๆ จำนวน จะจัดเรียงจากมากไปหาน้อยได้อย่างไร
ในปัจจุบันเราใช้เลขทศนิยม หรือเลขฐานสิบที่มีการเพิ่มจำนวนเป็นสิบเท่าของแต่ละหลัก และมีการแทนจำนวนที่มีค่าน้อยมากหรือมาก ๆ ได้ด้วยขนาดเป็นจำนวนเท่าของพัน เช่น

10	100	1,000	10,000	1,000,000	1,000,000,000	1,000,000,000,000
ten	hundred	thousand	ten thousand	million	billion	trillion

สำหรับทางด้านวิทยาศาสตร์ที่มีการแทนตัวเลขจำนวน เราใช้

จำนวนที่มีค่ามากขึ้น กิโล = 103 เมกะ = 106 จิกะ = 109 เทรา = 1012

จำนวนที่มีค่าน้อยลง มิลลิ = 10-3 ไมโคร = 10-6 นาโน = 10-9 พิโค = 10-12

การแทนตัวเลขจำนวน จึงหันมาใช้ระบบการนับจำนวนแบบฐานสิบ และใช้ระบบทศนิยม ทำให้สะดวกต่อการใช้ การเปรียบเทียบ และสร้างความคุ้นเคย หรือนำมาใช้ประโยชน์ในทางสื่อสารกันได้ง่าย
แหล่งอารยธรรมของอียิปต์ที่เหลือให้เห็นจนถึงปัจจุบัน คือ ปิรามิด ชาวอียิปต์มีความเชื่อเกี่ยวกับชีวิตหลังการตาย เขาเชื่อว่าเมื่อผู้คนตาย ดวงวิญญาณยังคงอาศัยอยู่ในโลก ดังนั้นชาวอียิปต์จึงยังคงเก็บร่างไว้ หลุมฝังศพของชาวอียิปต์จึงเป็นเรื่องสำคัญ มีวิทยาการเก็บรักษาร่างไว้ ที่เรียกว่า มัมมี่
วิทยาการทางด้านความคิด และการคำนวณได้รับการนำมาใช้ในการสร้างปิรามิด ซึ่งเป็นหลุมฝังพระศพของกษัตริย์ ปิรามิดที่มีชื่อเสียงและยังถือว่าเป็นสิ่งมหัศจรรย์ของโลกสิ่งหนึ่ง คือปิรามิดที่เมืองกิซ่า ซึ่งอยู่ทางฝั่งตะวันตกของแม่น้ำไนล์ การคำนวณของชาวอียิปต์มีความก้าวหน้ามาก โดยหลักฐานจากกลุ่มปิรามิดที่กิซ่า สามปิรามิด มีความลาดเอียงด้วยมุม 51 องศา 51 ลิบดา 52 องศา 20 ลิบดา และ 51 องศา ซึ่งความลาดเอียงนี้ถือได้ว่าเท่ากัน
จากหลักฐานแผ่นจารึก Rhind Papyrus ที่มีชื่อเสียง เพราะเป็นแผ่นจารึกบนกระดาษต้นกก ที่ทำขึ้นในสมัยฟาโรห์ โดยมีปัญหาและการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ 87 ปัญหา ทำให้ทราบวิธีการคำนวณตัวเลขต่าง ๆ ของชาวอียิปต์ ชาวอียิปต์ยังคงใช้ตัวเลขจำนวนเต็ม และคิดแบบเศษส่วน มีวิธีการคิดแบบเศษส่วนที่น่าสนใจมาก
มาตราวัดความยาวของชาวอียิปต์ก็อาศัยชีวิตความเป็นอยู่ และสิ่งแวดล้อมเป็นหน่วยวัดความยาว หน่วยวัดที่ชาวอียิปต์ใช้เป็นดังนี้

cubit	เป็นระยะความยาวของข้อศอกจนถึงปลายนิ้วกลาง ซึ่งแต่ละคนจะมีความยาวไม่เท่ากัน ดังนั้นจึงมีการวางมาตรฐาน cubit ขึ้นมา คือ royal cubit มีความยาวประมาณ 20.6 นิ้ว short cubit มีความยาวประมาณ 17.72 นิ้ว ต่อมาชาวกรีกใช้ความยาว cubit เท่ากับประมาณ 18.22 นิ้ว ชาวโรมันใช้ความยาว cubit เท่ากับประมาณ 17.47 นิ้ว
palm	คือระยะ 1/7 cubit
finger	คือระยะ 1/4 palm ดังนั้น 1 cubit มีค่าเท่ากับ 28 finger
hayt	มีค่าความยาวเท่ากับ 100 cubits
remen	คือระยะทางครึ่งหนึ่งของเส้นทะแยงของรูปสี่เหลี่ยมจตุรัสที่มีด้านแต่ละด้านเท่ากับ 1 cubit
khet	เป็นการวัดความยาวเพื่อคำนวณพื้นที่ โดย 1 khet มีค่าเท่ากับ 10000 cubit และ 1 setat คือหนึ่ง square khet
hekat	เป็นมาตราปริมาตรที่ใช้ตวงวัดความจุของข้าวสาลี ข้าวบาเลย์ ซึ่งหนึ่ง hekat มีค่าประมาณ 292.24 ลูกบาศก์นิ้ว
hinu	มีค่าประมาณ 1/10 ของ hekat
khar	มีค่าเท่ากับ 20 hekats

ความเป็นอยู่ของผู้คนเกี่ยวข้องกับการทำการเกษตร การเพาะปลูก เมื่อดำเนินการตั้งถิ่นที่อยู่อาศัย ก็ต้องมีการคำนวณพื้นที่ มีการเรียนรู้เรื่องเวลาและฤดูกาล เมื่อเพาะปลูกได้ก็ต้องรับรู้ปริมาณผลผลิตที่ได้รับ จึงมีการตวงข้าวสาลี ข้าวบาเลย์ และเป็นที่มาของมาตราต่าง ๆ ที่ใช้
ลองนึกดูว่า ทำไมชาวบาบิโลเนียจึงแบ่งเวลาออกเป็น 24 ชั่วโมงเท่ากับหนึ่งวัน และยังเข้าใจฤดูกาล
ชาวอียิปต์ ได้แบ่งฤดูกาลออกเป็นสามฤดูกาล โดยแบ่งเดือนออกเป็น 12 เดือน เดือนละ 30 วัน และมีเดือนหนึ่งมีค่าเท่ากับ 35 วัน หรือหนึ่งปีของชาวอียิปต์มีค่าเท่ากับ 365 วัน ได้ค่าเกือบเท่ากับการหมุนของโลกรอบดวงอาทิตย์ ชาวอียิปต์แบ่งฤดูกาลเป็น 3 ฤดู คือ ฤดูการเพาะหว่าน (sowing) ฤดูการเจริญเติบโต (growing) และฤดูการเก็บเกี่ยว (harvest)
ชีวิตความเป็นอยู่ของชนทุกชาติจะคุ้นเคยกับหน่วยปริมาณ และมาตราวัดที่แตกต่างกันออกไป
ชาวไทยคุ้นเคยกับมาตราวัดระยะทางแบบ คืบ ศอก วา เส้น มาก่อน ทำให้หน่วยวัดพื้นที่เป็นไร่ เป็นงาน อย่างไรก็ดีหน่วยวัดปริมาตรของไทยที่คุ้นเคยเดิมคือเป็นถัง เกวียน หรือแม้แต่การแบ่งเวลาก็มีการแบ่งเป็นโมง เป็นยาม
ในแต่ละชาติ แต่ละภาษาจึงมีมาตรฐานปริมาณของตนเอง มีหน่วยเงินตรา หรือหน่วยใช้ในชีวิตประจำวันต่าง ๆ ที่แตกต่างกัน แต่เมื่อมีการคบค้าสมาคมกันระหว่างประเทศ มีการค้าขายแลกเปลี่ยน ทำให้การดำเนินชีวิตที่ต้องมีมาตรฐานกลาง หรือหน่วยวัดกลางและเป็นที่ยอมรับกันทั่วโลก
เช่นหน่วยวัดที่ใช้สากลในเรื่องของเวลา วันที่ ระยะทาง ปริมาตร น้ำหนัก หรือแม้แต่มาตรฐานพิเศษบางอย่างที่เกิดขึ้นมาพร้อมกับการพัฒนาเทคโนโลยี เช่น หน่วยวัดปริมาณกระแสไฟฟ้า วัดพลังงาน เป็นต้น

การแทนพิกัดและรูปตัดกรวย

จากความพยายามที่หาหนทางนำเอาคณิตศาสตร์มาแทนรูปทรงเรขาคณิต โดยเริ่มจากในระนาบ จึงมีการกำหนดระนาบเป็นแกนสมมุติ x, y ซึ่งแทนระนาบใด ๆ

เมื่อจุดอยู่บนระนาบจึงแทนด้วยคู่ลำดับ เช่น จุด 3 , 3 และทางเดินของจุดก่อให้เกิดเป็นเส้น เส้นตรงที่ลากผ่านจุดสองจุดบนระนาบ จึงเขียนแทนด้วยสมการทางเดินของจุด เช่น 2x + 2y = 4 เขียนเส้นทางเดินของเส้นตรงนี้ได้

ถ้าเขียนรูปวงกลมลงบนระนาบ โดยอาศัยแกนพิกัดฉาก และให้จุดศูนย์กลางของวงกลมอยู่ที่คู่ลำดับ x , y เป็น 0 , 0 ดังรูป
ทางเดินของจุด P(x,y) เมื่อให้ระยะรัศมี r คงที่เสมอจะได้เส้นส่วนโค้งของวงกลม จากสมการของพีธากอรัสทำให้เราได้

OP2 = OQ2 + OP2

หรือเขียนได้เป็น

x2 + y2 = r2

ซึ่งก็หมายถึงการแทนวงกลมลงบนระนาบที่มีรัศมี r และจุดศูนย์กลางอยู่ที่ (0,0) เราเขียนสมการทางเดินของจุดได้

ยามค่ำคืนถ้าได้มีโอกาสสังเกตบนฟากฟ้าจะพบเห็นดาวที่สุกสว่างมีแสงเจิดจ้า ซึ่งได้แก่ดาวเคราะห์ และหากสังเกตต่อเนื่องไปหลาย ๆ วัน และอาจถึงหลายเดือนจะพบเห็นการเคลื่อนที่ผ่านกลุ่มดาวฤกษ์
ในทางดาราศาสตร์ พบว่าทางเดินของดาวเคราะห์ต่าง ๆ และโลกโคจรรอบดวงอาทิตย์เป็นวงรี ในยุคแรกคอเปอร์นิคัส (corpernicus) เสนอทฤษฎีการโคจรของดาวเคราะห์เป็นรูปวงกลม แต่ต่อมาพบว่าไม่ถูกต้อง ในปี 1600 เคปเลอร์ (Kepler) ได้เริ่มศึกษารายละเอียดการโคจรของดาวเคราะห์ เคปเลอร์ได้ทำการบันทึกการเปลี่ยนแปลงของตำแหน่งดาวอังคารบนฟากฟ้า จนในปี 1609 ก็สามารถพิสูจน์ให้เห็นว่า ดาวอังคารเคลื่อนที่รอบดวงอาทิตย์เป็นวงรี หลังจากนั้นก็พิสูจน์ได้ว่าดวงจันทร์ และดาวบริวารต่าง ๆ หมุนเป็นรูปวงรี
วงรี เป็นเส้นโค้งที่มีลักษณะใกล้เคียงกับวงกลม แต่มีจุดคงที่สองจุดเรียกว่า จุดโฟกัส เส้นโค้งที่เกิดจากการเคลื่อนที่ของจุด ซึ่งลากมาจากจุดโฟกัสจะทำให้ผลบวกของเส้นทั้งสองนี้คงที่เสมอ

ผลบวกของ F'P + FP มีค่าคงที่เสมอ เมื่อ P เคลื่อนที่ไปบนเส้นโค้ง
หากลากเส้นผ่านระหว่างโฟกัสทั้งสอง จะตัดวงรีที่ A และ A' ความยาวนี้มีค่าเท่ากับ 2a เรียก แกนยาวของวงรี และเส้นที่ลากผ่านจุด C ไปตามแกน Y พบกับส่วนโค้งวงรีที่ B และ B' ซึ่งมีความยาว 2b เรียกว่า แกนสั้นของวงรี สมการของรูปวงรีเมื่อเขียนในรูปสมการจะได้



เทคโนโลยีการสื่อสารดาวเทียมประกอบด้วยจานรับสัญญาณ ตัวจานรับสัญญาณมีผิวโค้ง เพื่อรับสัญญาณที่ส่งตรงมาจากดาวเทียม และสะท้อนรวมกันที่จุดรับสัญญาณ เพื่อให้มีสัญญาณที่แรงขึ้น
หรือเมื่อเราใช้ไฟฉายส่องเดินทาง สังเกตว่ามีกระจกสะท้อนแสงเพื่อรวมลำแสงให้พุ่งเป็นลำตรง โดยหลักการตามกฎการสะท้อนของแสง มุมตกกระทบย่อมเท่ากับมุมสะท้อน จุดที่รวมกันบนผิวระนาบโค้งนี้เรียกว่าจุดโฟกัส ผิวโค้งที่ทำให้มุมตกกระทบและสะท้อนมารวมกันที่จุดโฟกัส เรียกว่า ผิวโค้งพาราโบลา สมการของเส้นโค้งพาราโบลาเขียนได้ดังนี้

y = Ax2

และถ้ามีจุดคงที่หรือจุดโฟกัสสองจุดเช่นเดียวกับวงรี ถ้าให้จุด ๆ หนึ่งเคลื่อนที่ไป โดยกำหนดให้ผลต่างระหว่างจุดที่เคลื่อนที่และจุดคงที่ทั้งสองมีค่าคงที่ เราจะได้เส้นโค้งที่เรียกว่า ไฮเปอร์โบลา และจะมีเส้นโค้งนี้สองเส้นที่ไม่ต่อกัน

จากรูป ผลต่างของ P F' กับ P F มีค่าคงที่
การศึกษาเส้นทางเดินของจุด ทำให้เคปเลอร์ทราบวิถีการโคจรของดาวเคราะห์ และต่อมานิวตันเข้าใจถึงหลักการของแรงโน้มถ่วง และทราบถึงผลของการเคลื่อนที่ที่มีต่อแรงโน้มถ่วง นอกจากนี้ฮัลเลย์ซึ่งเป็นนักดาราศาสตร์ที่มีชื่อเสียงโด่งดังก็สามารถใช้หลักการ การเคลื่อนที่เป็นรูปวงรี และพาราโบลา และแรงโน้มถ่วงของดวงดาวต่าง ๆ ทำให้อธิบายปรากฎการณ์การเดินทางของดาวหาง และสามารถทำนายดาวหางว่าจะกลับมาให้เห็นอีกครั้งเมื่อไร

การศึกษา เส้นโค้งที่กล่าวมาแล้วคือ วงกลม วงรี พาราโบลา และไฮเปอร์โบลา มีมานานแล้ว ตั้งแต่ยุคสมัยอียิปต์โบราณ ทั้งนี้เส้นโค้งเหล่านี้เกิดจากการตัดรูปกรวยที่มีฐานเป็นวงกลมด้วยพื้นราบในลักษณะต่าง ๆ
ถ้าตัดด้านพื้นราบขนานกับฐาน ก็จะได้วงกลม ถ้าติดเอียงทำมุมก็จะได้รูปวงรี เมื่อพื้นราบเอียงจนขนานกับเส้นที่ลากจากยอดมาฐาน ก็จะได้รูปพาลาโบลา ถ้าใช้กรวยสองกรวยต่อจุดยอดกัน แล้วติดพื้นราบซึ่งตั้งฉากกับฐานกรวยจะได้รูปไฮเปอร์โบลา



เมื่อนำพื้นราบตัดรูปกรวยจะได้เส้นโค้งแบบต่าง ๆ
เส้นโค้งและผิวโค้งทางคณิตศาสตร์ยังมีอีกมาก และเป็นศาสตร์ที่สามารถนำมาใช้ในการออกแบบผลิตภัณฑ์ต่าง ๆ ได้มากมาย ลองค้นหาจากเอกสารต่าง ๆ ดูว่า เส้นโค้งทางคณิตศาสตร์ที่น่าสนใจเหล่านี้มีลักษณะอย่างไร cycloid, cardioid Ephicycloid Hypocycloid spiral ฯลฯ
ประโยชน์ของเส้นโค้งหรือผิวโค้งจึงมีมากมายและเกี่ยวข้องกับชีวิตประจำวันอย่างมาก เช่น ขณะขับรถไปในท้องถนน ถ้าวิศวกรออกแบบถนนให้มีส่วนโค้งของผิวถนนขณะขึ้นสะพาน และลงระนาบพอดี ผู้ขับขี่ยวดยานจะไม่รู้สึกกระเพื่อม

อสมการเชิงเส้น

 

การแก้ปัญหาอสมการเชิงเส้น มีลักษณะประยุกต์มาจากสมการ เช่น สมการเชิงเส้นมีตัวแปรและความสำคัญอยู่ในรูป

ax + by + c = 0
ถ้า a = 0 b 0	จะได้เส้นตรงที่ขนานกับแกน x และตัดแกน y ที่ ( 0 , - )
ถ้า a 0 b = 0	จะได้เส้นตรงที่ขนานกับแกน y และตัดแกน x ที่ ( - , 0 )
ถ้า a 0 b 0	จะได้เส้นตรงตัดแกน x ที่ ( - ,0) ตัดแกน y ที่ ( 0 , - )

กราฟอสมการสองตัวแปร

ในการใช้งานอสมการ คือ การแทนฟังก์ชั่นในสมการด้านที่มีเครื่องหมาย > < อยู่กลาง โดยหากเป็นอสมการที่มีตัวแปรสองตัวก็จะอยู่ในรูป

ax + by + c < 0	และ	ax + by + c 0
ax + by + c > 0	และ	ax + by + c 0
เมื่อ x และ y เป็นตัวแปรลำดับกำลังหนึ่ง ส่วน a , b , c เป็นค่าคงตัว ซึ่ง a 0 หรือ b 0

กรณีที่ b = 0

กรณีที่ b 0

ความเบี่ยงเบน

ในชีวิตประจำวันเราใช้สถิติโดยที่เราไม่รู้ตัวอยู่มากมาย เช่น สงกรานต์ปีนี้มีคนขึ้นไปเที่ยวเชียงใหม่กันมาก ส่วนใหญ่มาจากกรุงเทพมหานคร ความหมายในที่นี้คือ กลุ่มคนที่มาเที่ยวเชียงใหม่มีกระจัดกระจายจากที่ต่าง ๆ แต่กลุ่มคนที่มามากที่สุดคือ มาจากกรุงเทพมหนคร คราวนี้ถ้าดูกันในแง่ของสถิติ เราต้องการดูความแปรปรวนของข้อมูล เช่น เรามีข้อมูลอยู่สองชุด คือ ข้อมูลชุดที่ 1 10, 12, 14 ข้อมูลชุดที่ 2 30, 5, 1 ข้อมูลทั้งสองชุดนี้ให้ค่าเฉลี่ยเท่ากันคือ 12 แต่หากพิจารณาที่พิสัย (range) จะพบว่า ขอบเขตของข้อมูลชุดที่สองมีการกระจายตัวกว้างกว่า คือ จาก 1 ถึง 30 เราจะเห็นว่า ชุดที่ 1 มีการรวมกลุ่มกัน กระจายตัวน้อยกว่า ทางสถิติเราคำนวณค่าความเบี่ยงเบนนี้ และเรียกว่า วาเรียนซ์ (varience)

ใช้สัญลักษณ์ (อ่านว่าซิกมา ยกกำลังสอง)	ใช้สัญลักษณ์ s2	ใช้สัญลักษณ์	และ s
แทนวาเรียนซ์ของประชากร	แทนวาเรียนซ์ของประชากร	แทนส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร	แทนส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแทน

วาเรียนซ์ คือ ผลบวกของกำลังสองของความแตกต่างระหว่างแต่ละค่า กับค่าเฉลี่ย หารด้วยจำนวนซึ่งน้อยกว่าจำนวนค่าทั้งหมดหนึ่ง

ดังนั้น ถ้าประชากรมี x₁, x₂, . . ., x_n และมี เป็นค่าเฉลี่ย วาเรียนซ์ที่ได้

=

=

สำหรับวาเรียนซ์ของตัวแทน หาได้จาก s =

การหาค่าเฉลี่ยและวาเรียนซ์ทำให้เข้าใจลักษณะของข้อมูลการกระจายตัวของข้อมูล เช่น

ชุดข้อมูล A มีข้อมูล	0	48	49	51	52	100
ชุดข้อมูล B มีข้อมูล	47	48	49	51	52	53

ทั้งสองข้อมูลมีค่าเฉลี่ย

เท่ากับ 50 เท่ากัน แต่พิสัยต่างกัน ความแปรปรวนของข้อมูลพิจารณาได้จากวาเรียนซ์

ข้อมูลชุด A

ข้อมูลชุด B

ข้อมูล
0	-50	2500
48	-2	4
49	-1	1
51	1	1
52	2	4
100	50	2500
ผลรวม		5010

ข้อมูล
47	-3	9
48	-2	4
49	-1	1
51	1	1
52	2	4
53	3	9
ผลรวม		28

เมื่อนำมาหารด้วย s = 1002 วาเรียนซ์ของข้อมูลชุด A มีค่าเท่ากับ 1002

วาเรียนซ์ ของข้อมูลชุด A มีค่าเท่ากับ 28/5 ได้ 5.6

เห็นได้ชัดว่าข้อมูลสองชุดมีจำนวนข้อมูลเท่ากัน มีค่าเฉลี่ยเท่ากัน แต่การเปรียบเทียบข้อมูลยังมีความแตกต่างกัน ในเรื่องความปรวนแปร ข้อมูลชุด Aมีความปรวนแปร หรือ มีวาเรียนซ์สูงกว่า ข้อมูลชุด B การใช้งานในชีวิตประจำวันอาจพบเห็นได้ เช่น เมื่อต้องการลงทุนในการซื้อหุ้นกิจการบริษัทในตลาดหลักทรัพย์ โดยพิจารณาจากบริษัทสามบริษัท คือ บริษัทรุ่งเรือง บริษัทค้าดี และบริษัทกิจการดี ข้อมูลที่เก็บย้อนหลังสิบปี โดยข้อมูลทั้งสิบปีประกอบด้วยข้อมูล การปันผล เมื่อนำเอาข้อมูลปันผลทั้งสิบปีมาคิดหาค่าสำคัญทางสถิติ ได้ผล ดังนี้

 

บริษัท	ค่าเฉลี่ยการปันผล %	ความเบี่ยงเบนมาตรฐาน %
บริษัทรุ่งเจริญ บริษัทค้าดี บริษัทกิจการดี	855	521

คำถามมีอยู่ว่า เราจะเลือกลงทุนในกิจการบริษัทใดดี เพราะถ้าได้ปันผลเฉลี่ยสูง แต่มีความแปรปรวนสูง บางปีอาจได้ต่ำ บางปีอาจได้สูง หรือมีความเสี่ยงมาก

เพื่อให้มีเงื่อนไขการตัดสินใจได้ง่ายขึ้น เรามีการวัด ค่าด้วยสัมประสิทธิ์ของความผันแปร (Coefficient of variation) ซึ่งค่านี้เป็นค่าส่วนความเบี่ยงเบนมาตรฐานคิดเป็นเปอร์เซนต์ของค่าเฉลี่ย
cv = * 100

ดังนั้น จากข้อมูลที่ได้มาจะเห็นว่าทั้งสามบริษัทมีค่า cv แตกต่างกัน

<><><><> <><><><><><>

cv ของบริษัทรุ่งเจริญ	(5/8) * 100	= 62.5 %
cv ของบริษัทค้าดี	(2/5) * 100	= 40 %
cv ของบริษัทกิจการดี	(1/5) * 100	= 20 %

ข้อมูลนี้เป็นข้อมูลช่วยในการตัดสินใจ ถ้าเราต้องการความเสี่ยง โดยอาจได้ปันผลสูงในบางปี ก็ต้องเลือกบริษัทรุ่งเจริญ แต่ถ้าต้องการความแน่นอนก็ต้องเลือกบริษัทกิจการดี