ความเบี่ยงเบน

ในชีวิตประจำวันเราใช้สถิติโดยที่เราไม่รู้ตัวอยู่มากมาย เช่น สงกรานต์ปีนี้มีคนขึ้นไปเที่ยวเชียงใหม่กันมาก ส่วนใหญ่มาจากกรุงเทพมหานคร ความหมายในที่นี้คือ กลุ่มคนที่มาเที่ยวเชียงใหม่มีกระจัดกระจายจากที่ต่าง ๆ แต่กลุ่มคนที่มามากที่สุดคือ มาจากกรุงเทพมหนคร คราวนี้ถ้าดูกันในแง่ของสถิติ เราต้องการดูความแปรปรวนของข้อมูล เช่น เรามีข้อมูลอยู่สองชุด คือ ข้อมูลชุดที่ 1 10, 12, 14 ข้อมูลชุดที่ 2 30, 5, 1 ข้อมูลทั้งสองชุดนี้ให้ค่าเฉลี่ยเท่ากันคือ 12 แต่หากพิจารณาที่พิสัย (range) จะพบว่า ขอบเขตของข้อมูลชุดที่สองมีการกระจายตัวกว้างกว่า คือ จาก 1 ถึง 30 เราจะเห็นว่า ชุดที่ 1 มีการรวมกลุ่มกัน กระจายตัวน้อยกว่า ทางสถิติเราคำนวณค่าความเบี่ยงเบนนี้ และเรียกว่า วาเรียนซ์ (varience)

ใช้สัญลักษณ์ (อ่านว่าซิกมา ยกกำลังสอง)	ใช้สัญลักษณ์ s2	ใช้สัญลักษณ์	และ s
แทนวาเรียนซ์ของประชากร	แทนวาเรียนซ์ของประชากร	แทนส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร	แทนส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแทน

วาเรียนซ์ คือ ผลบวกของกำลังสองของความแตกต่างระหว่างแต่ละค่า กับค่าเฉลี่ย หารด้วยจำนวนซึ่งน้อยกว่าจำนวนค่าทั้งหมดหนึ่ง

ดังนั้น ถ้าประชากรมี x₁, x₂, . . ., x_n และมี เป็นค่าเฉลี่ย วาเรียนซ์ที่ได้

=

=

สำหรับวาเรียนซ์ของตัวแทน หาได้จาก s =

การหาค่าเฉลี่ยและวาเรียนซ์ทำให้เข้าใจลักษณะของข้อมูลการกระจายตัวของข้อมูล เช่น

ชุดข้อมูล A มีข้อมูล	0	48	49	51	52	100
ชุดข้อมูล B มีข้อมูล	47	48	49	51	52	53

ทั้งสองข้อมูลมีค่าเฉลี่ย

เท่ากับ 50 เท่ากัน แต่พิสัยต่างกัน ความแปรปรวนของข้อมูลพิจารณาได้จากวาเรียนซ์

ข้อมูลชุด A

ข้อมูลชุด B

ข้อมูล
0	-50	2500
48	-2	4
49	-1	1
51	1	1
52	2	4
100	50	2500
ผลรวม		5010

ข้อมูล
47	-3	9
48	-2	4
49	-1	1
51	1	1
52	2	4
53	3	9
ผลรวม		28

เมื่อนำมาหารด้วย s = 1002 วาเรียนซ์ของข้อมูลชุด A มีค่าเท่ากับ 1002

วาเรียนซ์ ของข้อมูลชุด A มีค่าเท่ากับ 28/5 ได้ 5.6

เห็นได้ชัดว่าข้อมูลสองชุดมีจำนวนข้อมูลเท่ากัน มีค่าเฉลี่ยเท่ากัน แต่การเปรียบเทียบข้อมูลยังมีความแตกต่างกัน ในเรื่องความปรวนแปร ข้อมูลชุด Aมีความปรวนแปร หรือ มีวาเรียนซ์สูงกว่า ข้อมูลชุด B การใช้งานในชีวิตประจำวันอาจพบเห็นได้ เช่น เมื่อต้องการลงทุนในการซื้อหุ้นกิจการบริษัทในตลาดหลักทรัพย์ โดยพิจารณาจากบริษัทสามบริษัท คือ บริษัทรุ่งเรือง บริษัทค้าดี และบริษัทกิจการดี ข้อมูลที่เก็บย้อนหลังสิบปี โดยข้อมูลทั้งสิบปีประกอบด้วยข้อมูล การปันผล เมื่อนำเอาข้อมูลปันผลทั้งสิบปีมาคิดหาค่าสำคัญทางสถิติ ได้ผล ดังนี้

 

บริษัท	ค่าเฉลี่ยการปันผล %	ความเบี่ยงเบนมาตรฐาน %
บริษัทรุ่งเจริญ บริษัทค้าดี บริษัทกิจการดี	855	521

คำถามมีอยู่ว่า เราจะเลือกลงทุนในกิจการบริษัทใดดี เพราะถ้าได้ปันผลเฉลี่ยสูง แต่มีความแปรปรวนสูง บางปีอาจได้ต่ำ บางปีอาจได้สูง หรือมีความเสี่ยงมาก

เพื่อให้มีเงื่อนไขการตัดสินใจได้ง่ายขึ้น เรามีการวัด ค่าด้วยสัมประสิทธิ์ของความผันแปร (Coefficient of variation) ซึ่งค่านี้เป็นค่าส่วนความเบี่ยงเบนมาตรฐานคิดเป็นเปอร์เซนต์ของค่าเฉลี่ย
cv = * 100

ดังนั้น จากข้อมูลที่ได้มาจะเห็นว่าทั้งสามบริษัทมีค่า cv แตกต่างกัน

<><><><> <><><><><><>

cv ของบริษัทรุ่งเจริญ	(5/8) * 100	= 62.5 %
cv ของบริษัทค้าดี	(2/5) * 100	= 40 %
cv ของบริษัทกิจการดี	(1/5) * 100	= 20 %

ข้อมูลนี้เป็นข้อมูลช่วยในการตัดสินใจ ถ้าเราต้องการความเสี่ยง โดยอาจได้ปันผลสูงในบางปี ก็ต้องเลือกบริษัทรุ่งเจริญ แต่ถ้าต้องการความแน่นอนก็ต้องเลือกบริษัทกิจการดี